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教育头条
2019考研数学大纲不等式的证明重难点详解
关于不等式的证明历年都是考研数学中的重难点，方法主要有下列几种：
方法一 利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理。思路为：
（1）将所证明的不等式变形，使其一端变为或者的形式；
（2）若在（1）中其一端出现的形式，则对函数在区间上使用拉格朗日中值定理；若在（1）中其一端出现的形式，则对函数，在区间上使用柯西中值定理；
（3）根据中值定理中得到的的关系式及的取值范围，推出所证不等式。
方法二 利用单调性证明不等式。思路为：
（1）构造辅助（一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数）。
（2）利用单调性判定定理，判定 在所讨论范围内的单调性。
（3）求在所讨论范围内的某个端点的函数值或极限值，从而推出不等式。
方法三 利用最大值或最小值证明不等式。思路为：
（1）构造辅助函数（一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数）。
（2）求在所讨论范围I上的最大值或最小值。
（3）若在区间I上的最大值为M，则；若在区间I上的最小值为m，则。
方法四 利用泰勒公式证明不等式。思路为：
（1）将函数在适当的点展开成比的最高阶导数低一阶的泰勒公式。
（2）根据已知条件所给的最高阶导数的取值范围，对展开式进行放缩。
方法一 利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理。思路为：
（1）将所证明的不等式变形，使其一端变为或者的形式；
（2）若在（1）中其一端出现的形式，则对函数在区间上使用拉格朗日中值定理；若在（1）中其一端出现的形式，则对函数，在区间上使用柯西中值定理；
（3）根据中值定理中得到的的关系式及的取值范围，推出所证不等式。
方法二 利用单调性证明不等式。思路为：
（1）构造辅助（一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数）。
（2）利用单调性判定定理，判定 在所讨论范围内的单调性。
（3）求在所讨论范围内的某个端点的函数值或极限值，从而推出不等式。
方法三 利用最大值或最小值证明不等式。思路为：
（1）构造辅助函数（一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数）。
（2）求在所讨论范围I上的最大值或最小值。
（3）若在区间I上的最大值为M，则；若在区间I上的最小值为m，则。
方法四 利用泰勒公式证明不等式。思路为：
（1）将函数在适当的点展开成比的最高阶导数低一阶的泰勒公式。
（2）根据已知条件所给的最高阶导数的取值范围，对展开式进行放缩。
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