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2018年中考数学真题中压轴题的详细解析
2018中考数学真题 | 压轴题解析
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当S△MFQ：S△MEB=1：3时，求点M的坐标．
试题分析：
（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；（2）根据点M的坐标表示出点Q、E的坐标，再设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点F的坐标，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面积，然后列出方程并根据m的取值范围整理并求解得到m的值，再根据点M在抛物线上求出n的值，然后写出点M的坐标即可．试题解析：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴，解得，∴y=﹣x2+x+2，∵y=﹣x2+x+2=﹣（x2﹣3x+）++2=﹣（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，）；（2）∵M（m，n），∴Q（0，n），E（3﹣m，n），设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），把B（4，0），M（m，n）代入得，解得，∴，令x=0，则y=，∴点F的坐标为（0，），∴MQ=|m|，FQ=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，∴S△MFQ=MQ?FQ=|m|?||=||，S△MEB=ME?|n|=?|3﹣2m|?|n|，∵S△MFQ：S△MEB=1：3，∴||×3=?|3﹣2m|?|n|，即||=|3﹣2m|，∵点M（m，n）在对称轴左侧，∴m＜，∴=3﹣2m，整理得，m2+11m﹣12=0，解得m1=1，m2=﹣12，当m1=1时，n1=﹣×12+×1+2=3，当m2=﹣12时，n2=﹣×（﹣12）2+×（﹣12）+2=﹣88，∴点M的坐标为（1，3）或（﹣12，﹣88）．
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当S△MFQ：S△MEB=1：3时，求点M的坐标．
试题分析：
（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；（2）根据点M的坐标表示出点Q、E的坐标，再设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点F的坐标，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面积，然后列出方程并根据m的取值范围整理并求解得到m的值，再根据点M在抛物线上求出n的值，然后写出点M的坐标即可．试题解析：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴，解得，∴y=﹣x2+x+2，∵y=﹣x2+x+2=﹣（x2﹣3x+）++2=﹣（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，）；（2）∵M（m，n），∴Q（0，n），E（3﹣m，n），设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），把B（4，0），M（m，n）代入得，解得，∴，令x=0，则y=，∴点F的坐标为（0，），∴MQ=|m|，FQ=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，∴S△MFQ=MQ?FQ=|m|?||=||，S△MEB=ME?|n|=?|3﹣2m|?|n|，∵S△MFQ：S△MEB=1：3，∴||×3=?|3﹣2m|?|n|，即||=|3﹣2m|，∵点M（m，n）在对称轴左侧，∴m＜，∴=3﹣2m，整理得，m2+11m﹣12=0，解得m1=1，m2=﹣12，当m1=1时，n1=﹣×12+×1+2=3，当m2=﹣12时，n2=﹣×（﹣12）2+×（﹣12）+2=﹣88，∴点M的坐标为（1，3）或（﹣12，﹣88）．
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